6. СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
Линейное относительно старших производных ДУ с ЧП второго
порядка
2 2 2
22
, 2 , ,
u u u
A x y B x y C x y
xy
xy


2 2 2
, , , , 0 .
uu
F x y u A B C
xy





Классификация уравнений второго порядка
Если
2
0B AC
в области
,G
то уравнение гиперболического типа.
Если
2
0B AC
– параболического типа.
Если
2
0B AC
– эллиптического типа.
Канонический вид уравнения второго порядка
Каноническое уравнение гиперболического типа
2
, , , , ,
u u u
F x y u
x y x y



или
22
22
, , , ,
u u u u
F x y u
xy
xy






.
Каноническое уравнение параболического типа
2
2
, , , ,
u u u
F x y u
xy
x




.
Каноническое уравнение эллиптического типа
22
22
, , , ,
u u u u
F x y u
xy
xy






.
Дифференциальное уравнение характеристик уравнения
есть
22
, 2 , , 0.A x y dy B x y dxdy C x y dx
Задача Коши для неограниченной струны
22
2
22
uu
a
tx


при начальных условиях
0
0
,.
t
t
u
u x x
t
Решение:
 
1
,
22
x at
x at
x at x at
u x t d
a
(формула Даламбера).
Колебание полуограниченной струны
22
2
22
, 0 , 0.
uu
a x t
tx



0
0
0
0, , .
x
t
t
u
u u x x
y
Решение:
 
1
,,
22
x at
x at
x at x at
u x t d
a
где
, 0, , 0,
и
, 0 , 0.
x x x x
xx
x x x x



 


Метод Фурье для уравнения колебаний ограниченной струны
22
2
22
, 0 .
uu
a x l
tx


Начальные условия:
0
0
,.
t
t
u
u x x
t
Граничные условия:
0
0, 0.
x
xl
uu

Решение:
1
, cos sin sin ,
kk
k
k at k at k x
u x t a b
l l l




где
00
22
sin ; sin .
ll
kk
k x k x
a x dx b x dx
l l k a l


Уравнение теплопроводности для нестационарного случая
2 2 2
2
2 2 2
u u y u
a
t
x y z



.
Распределение температуры в неограниченном стержне
2
2
2
,.
uu
ax
t
x


Начальное условие:
0
.
t
u f x
Решение:
2
2
1
, exp
4
2
x
u x t f d
at
at







(интеграл Пуассона).
Распределение температуры в ограниченном стержне
2
2
2
, 0 .
uu
a x l
t
x

Начальное условие:
0
,.
t
u x t f x
Граничные условия:
0
,.
x x l
u A u B


Решение:
2 2 2
2
1
, exp sin ,
n
n
B A a n n x
u x t A x c t
ll
l



1
0
22
sin 1
l
n
n
nx
c x dx A B
l l n
 
.
Уравнение Лапласа
222
2 2 2
0
uuu
x y z

или
0,u
где
2 2 2
2 2 2
x y z
– оператор Лапласа.
В плоском случае уравнение Лапласа имеет вид
22
22
0.
uu
xy



Задача Дирихле для круга
22
22
0, ,
rR
uu
uf
xy


где
,r
– полярные координаты.
Решение:
22
22
1
,
2
2 cos
Rr
u r f t dt
R Rr t r


(интеграл Пуассона).